フォームの送信後、回転する矢印のアイコンは現れるのですが、それっきりで何も起きません。

こういった問題はプラグイン間、またはテーマとの衝突が原因でよく起こります。試しに他のプラグインをすべて停止して、テーマをデフォルトテーマに戻してみてください。

プラグインやテーマとの衝突問題(このプラグインとだけでなく WordPress 全般でみられる)については Buzztone さんが詳しい説明を書いています。この問題の詳細が知りたいときには役に立つでしょう。

Just another contact form plugin for WordPress. Simple but flexible.