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Contact Form 7 4.8 以降のバージョンでは Ajax フォーム送信に WordPress REST API を利用します。あなたのサイトで REST API が利用可能でない場合は、Ajax フォーム送信を使うのはあきらめてください。非 Ajax のフォーム送信は引き続き利用可能です。Ajax フォーム送信を無効化して非 Ajax のフォーム送信を使うには、あなたのサイトのページ上での JavaScript のロードを停止してください。

その前に REST API を無効化したことを考え直した方がいいかもしれませんね。REST API はこれからの WordPress の根幹をなす機能の一つです。過去にセキュリティ関連の問題が報告されましたがすべて解決済みです。REST API を有効に戻すことを考えてみてください。