Por mi larga experiencia en ayudar a los usuarios de Contact Form 7 en el foro de soporte, puedo decir que la razón más común detrás de los problemas es la interferencia de otros plugins o del tema que el usuario utiliza.
Algunos ven esto como un problema de incompatibilidad entre los plugins, pero eso no es cierto, en el sentido preciso. Los autores de plugins y temas no tienen que preocuparse por la compatibilidad con un plugin en particular, incluso si el plugin es uno de los más populares. Los autores solo tienen que preocuparse por el cumplimiento de las mejores prácticas en el desarrollo de plugins y temas para WordPress.
Sin embargo, es un hecho que hay muchos autores de plugins y temas que no se preocupan por nada. Sus plugins y temas a menudo interfieren con otros plugins y pueden romper su funcionalidad. Muchos de ellos son productos comerciales, o productos distribuidos sin la licencia adecuada (CodeCanyon y ThemeForest son notorios como distribuidores típicos de estos productos mal hechos). No es de extrañar que te enfrentes a problemas si utilizas tales plugins o temas.
Por esta razón se aconseja desactivar todos los plugins (excluyendo Contact Form 7), y cambiar al tema por defecto al mismo tiempo. Al hacer esto, puedes determinar si el problema que enfrentas es causado por el propio Contact Form 7, por alguno de los otros plugins o por el tema que acabas de desactivar. Si resulta que el culpable es uno de los dos últimos, entonces al reactivarlos uno por uno, haciendo la misma prueba cada vez, deberías ser capaz de reducir y eventualmente localizar al verdadero culpable detrás del problema.
Cuando decimos «tema por defecto» nos referimos al tema oficial que viene con el propio WordPress. Si usas WordPress 5.3 entonces Twenty Twenty es el tema por defecto. Twenty Nineteen y Twenty Seventeen son los anteriores temas por defecto, y todavía reciben mantenimiento. Los temas por defecto son más fiables que otros temas porque son creados y mantenidos por desarrolladores expertos.
Es posible que te preocupe perder datos de configuración al cambiar de tema. Si el tema se ha creado de la forma correcta y cumple con las prácticas recomendadas, entonces podrás cambiar de tema de forma segura y sin pérdida de datos. Si no, desafortunadamente, no hay garantía. En cualquier caso, se aconseja hacer una copia de seguridad de los datos de antemano.
Puede haber casos en los que sientas que es difícil desactivar los plugins, o cambiar de tema, por razones como que es el sitio del cliente y podría no estar contento si lo haces. Entiendo la dificultad de estas situaciones, pero si la responsabilidad de solucionar los problemas recae en ti, entonces tienes que hacerlo de alguna manera.
Muchos administradores de sitios web experimentados, en previsión de tales casos, preparan un entorno de pruebas en el que se pueden probar los cambios sin afectar al entorno de producción. O tal vez quieras probar un plugin llamado Health Check & Troubleshooting. Este plugin te permite hacer cambios en un sitio de tal manera que los cambios solo sean visibles para ti al estar conectado como administrador.