form 要素に id や class 属性を追加できますか?

はい。[contact-form-7] のショートコードに html_idhtml_class の属性を追加することで form に任意の id と class を追加できます。

例:

[contact-form-7 id="1234" title="Contact form 1" html_id="contact-form-1234" html_class="form contact-form"]

Just another contact form plugin for WordPress. Simple but flexible.